7 класс Группа "профи"("Ш")


Для самостоятельного решения



бет5/14
Дата23.07.2016
өлшемі471 Kb.
#217573
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Для самостоятельного решения


Зад15. Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети? (Укажите все решения)

Зад16. В Зурбагане любой город соединен авиалиниями не более, чем с тремя другими, и из любого города в любой другой можно проехать, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в Зурбагане?

Зад17. Каждая грань кубика разбита на 4 квадрата. Некоторые стороны этих квадратов раскрасили в красный цвет – всего 26 сторон. Докажите, что на поверхности кубика найдется замкнутая ломаная из красных отрезков.

Зад18. В графе с 2n вершинами n2+1 ребро. Докажите, что в нем есть три вершины, попарно соединенные ребрами.

Зад19. В компании из k человек (k>3) каждый узнал по новому анекдоту. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им анекдоты. Пусть n - наименьшее число разговоров, за которые все могут узнать все анекдоты. Докажите, что: а) k-1n2k-3 б) n2k-4 в)* n1,5k-2 г)** n2k-5 д)*** n=2k-4 .

Площади


Свойства площадей.

1. Площадь целого равна сумме площадей частей.

2. Равные фигуры имеют равные площади.

3. Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна ab.



Теорема 1. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению стороны AD на расстояние между прямыми AD и BC.

Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

Теорема 3. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Упр4. Докажите, что а) медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника; б) три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Упр5. Докажите, что а) площадь треугольника со сторонами а, b, c не превосходит ; б) площадь четырехугольника с диагоналями p и q не превосходит .

Упр6. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 1.

Упр7. Существует ли такой треугольник, что а) все его стороны больше 1 км, а площадь меньше 1 см2; б) все его высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 км2; в) все стороны треугольника меньше 1 см, а его площадь больше 1 см2.

Зад8. а) Через каждую вершину выпуклого четырехугольника проведена прямая, параллельная его диагонали. Докажите, что полученный параллелограмм по площади вдвое больше четырехугольника.

б) Середины соседних сторон выпуклого четырехугольника соединены отрезками. Докажите, что площадь полученного четырехугольника вдвое меньше площади данного.



Зад9. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в узлах сетки не менее .

Зад10. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что AD параллельна BC треугольники ABO и CDO равновелики.

Теорема 11. а) Площадь треугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности. б) Площадь описанного многоугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности.

Зад12. а) Преподаватель и школьник делят квадратный пирог. Преподаватель отмечает внутри пирога точку, а школьник соединяет ее отрезками со всеми вершинами квадрата и забирает себе любые два куска, не имеющие общих сторон. Как должен действовать преподаватель, чтобы получить побольше пирога?

б) Внутри квадрата отметим две точки и соединим их отрезками со всеми вершинами (см. рис. 2). Могут ли все девять полученных частей иметь одинаковую площадь?



Зад13. Внутри равностороннего треугольника выбрана точка, и из нее опущены перпендикуляры на все три стороны. Докажите, что сумма длин этих перпендикуляров не зависит от выбора точки.

Для самостоятельного решения


Зад14. Квадрат разрезан прямыми, параллельными его сторонам, на прямоугольники, которые раскрашены в черный и белый цвета в шахматном порядке (см. рисунок 3). При этом оказалось, что общая площадь черных прямоугольников равна площади белых прямоугольников. Докажите, что прямоугольники можно переместить так, что все черные прямоугольники составят один прямоугольник.

Зад15. Стороны прямоугольника на шахматной доске параллельны сторонам доски. Докажите, что разность суммарных площадей белых и черных частей прямоугольника не превосходит площади одной клетки.

Зад16. Докажите неравенство для площади четырехугольника (a,b,c,d – стороны по порядку): .

Зад17. (Принцип Кавальери) а) На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника и прямая. Известно, что любая прямая, параллельная данной, пересекается с многоугольниками по отрезкам раной длины. Докажите, что эти многоугольники равновелики. б) Докажите, что два равновеликих прямоугольника можно расположить на плоскости так, что они будут пересекаться по равным отрезкам с любой прямой, параллельной данной.

Зад18. (Корректность площади: решать, не используя понятия площади) а) Прямоугольник разрезали на несколько меньших прямоугольников. Для каждого вычислили произведение длины на ширину. Докажите, что сумма этих чисел равна произведению длины на ширину исходного прямоугольника. б) Один прямоугольник лежит в другом (возможно, косо). Докажите, что у внутреннего произведение длины на ширину меньше.



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14




©www.dereksiz.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет