Лекция Уравнения и неравенства первой степени


Неравенства первой степени



бет2/2
Дата07.10.2023
өлшемі72.77 Kb.
#480040
түріЛекция
1   2
Стандарт есеп лекция 3

3.2 Неравенства первой степени

Неравенства вида



ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0,

(2)

где ab  R, x - переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).
Поскольку все неравенства (2) решаются аналогично, приведем решение лишь первого из них: ax + b > 0. Рассмотрим следующие случаи:

  1. a > 0, тогда

ax + b > 0 ax > -b x > -b/a
и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a > 0) есть (-b/a;+);

  1. a < 0, тогда

ax + b > 0 ax > -b x < -b/a
и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a < 0) есть (-;-b/a);

  1. a = 0, тогда неравенство примет вид 0·x + b > 0 и для b > 0 любое действительное число есть решение неравенства, а при b ≤ 0 неравенство не имеет решений.

Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить неравенства

a) 3x + 6 > 0;

c) 2(x + 1) + x < 3x + 1;

b) -2x + 3 ≥ 0;

d) 3x + 2 ≥ 3(x - 1) + 1.

Решение. a) 3x + 6 > 0 3x > -6 x > -2, и, следовательно, множество решений исходного неравенства есть (-2;+ ).
b) -2x + 3 ≥ 0 -2x ≥ -3 x ≤ 3/2, то есть множеством решений исходного неравенства является (- ;3/2].
c) После элементарных преобразований получим линейное неравенство
2(x + 1) + x < 3x + 1 2x + 2 + x < 3x + 1 0·x + 1 < 0.
Так как 1 < 0 - ложное числовое неравенство, то исходное неравенство не имеет решений.
d) Решая аналогично примеру c), получим
3x + 2 ≥ 3(x - 1) + 1 3x + 2 ≥ 3x - 3 + 1 0·x + 4 ≥ 0,
откуда следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства.
Пример. Решите неравенство .
Решение. Установим ОДЗ: .
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Решаем систему (1).

  1. Если , то .

  2. Если , то .

  3. Если , то .

  4. Решая систему (2), учтем, что , если . Поэтому . Ответ легко списать с оси ответа.










Пример. При каких значениях неравенство верно при всех ,удовлетворяющих условию ?
Решение. Решим сначала неравенство .
Возможны следующие случаи:







При множество решений данного неравенства включает в себя отрезок . Для того чтобы отрезок принадлежал множеству достаточно, чтобы выполнялось неравенство . Решаем это неравенство:


Аналогично найдем, при каких значениях отрезок принадлежит множеству


Ответ:






Данное неравенство можно решить и графически в системе координат . Пусть . Имеем линейную функцию при любом .


































Достарыңызбен бөлісу:
1   2




©www.dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет