Расчетно-графическая работа №1



Дата20.07.2016
өлшемі266.96 Kb.

Расчетно-графическая работа № 1


Тема 1: «Кинематика точки. Координатный способ задания движения точки. Естественный способ задания движения. Скорость и ускорение точки в проекциях на декартовы и естественные оси координат. Построение траектории точки, графиков скорости и ускорения на заданном интервале времени. Определение радиуса кривизны траектории в каждой точке разбиения интервала. Годограф скорости.»

Рассматривается движение точки M(x,y) в плоскости Oxy; Oxy – неподвижная декартова система координат. Для задания движения точки координатным способом необходимо дать зависимости изменения координат точки от времени



x = x(t), y = y(t), (1.1)

Эти зависимости называются уравнениями движения точки на плоскости. Одновременно они являются параметрическими уравнениями траектории, где параметр – время t.

Пусть i и j – орты осей Ox и Oy. Радиус-вектор точки r(t) может быть записан через скалярные функции x(t), y(t) в виде

r(t) = x(t) i + y(t) j

Скорость точки M



v(t) = dr/dt = vx(t) i + vy(t) j

Таким образом, проекции вектора скорости являются производными от координат движущейся точки по времени vx = x¢ (t), vy = y¢ (t).

Величина скорости и ее направление задаются равенствами:

v = ½v½ = , cos (v,i) = x¢ /v, cos (v,j) = y¢ /v

Ускорение точки M



a(t) = dv/dt = ax(t) i + ay(t) j,

где ax = x² (t), ay = y² (t) – проекции ускорения на оси Ox и Oy. Для модуля и направления вектора ускорения имеем равенства



a = ½a½ = , cos (a,i) = x² /a, cos (a,j) = y² /a.

Чтобы получить уравнение траектории в форме зависимости между координатами x и y, надо исключить время t из параметрических уравнений траектории (1.1)



f(x,y) = 0. (1.2)

При этом траекторией точки может быть не вся кривая, представленная уравнением (1.2), а только ее часть, соответствующая положительному значению параметра t.

Если траектория точки известна, то задать движение точки можно естественным способом. Для этого задается точка начала отсчета M0 на траектории, выбирается положительное направление движения и указывается закон движения в виде

s = s(t).

Параметр s является криволинейной координатой. Знак s указывает: по какую сторону от начальной точки M0 находится на траектории текущая точка M. В каждой точке M плоской траектории можно построить оси естественной системы координат: касательную прямую t и главную нормаль n с ортами t0 и n0. За положительное направление касательной выбирается направление в сторону роста параметра s по траектории. Главная нормаль направлена в сторону вогнутости траектории под прямым углом к направлению касательной в данной точке. При движении точки M система естественных осей Mtn также движется, и направления осей меняются с течением времени.



Алгебраическая скорость точки

vt = ds/dt = s¢ .

При s¢ > 0 точка движется в положительном направлении отсчета s, а при s¢ < 0 – в противоположную сторону. Модуль скорости вычисляется по формуле



v = ½v½ = ½s¢½.

Вектор ускорения допускает представление



a = s¢²t0 + v2/r n0,

где r – радиус кривизны траектории в данной точке.



  • at = s² t0 – касательная составляющая ускорения точки;

  • an = v2/r n0 – нормальная составляющая ускорения.

Таким образом

a = at + an.

Величина полного ускорения



a = ½a½ = ,

где at = vt¢ = s², an = v2/r – проекции вектора ускорения на касательную и нормаль. Приведем также формулу для проекции вектора a ускорения на направление вектора скорости v



av = (a, v)/v = (axvx + ayvy)/v = (x² x¢ + y² y¢)/v.

Заметим, что ½av½ = ½at½.

Модуль проекции ускорения на касательную характеризует изменение скорости по величине, а знак показывает направление касательной составляющей ускорения:


  • если atvt > 0, то движение точки является ускоренным, при этом векторы at и v направлены в одну сторону;

  • если atvt < 0, то движение точки является замедленным, векторы at и v направлены в противоположные стороны.

Проекция ускорения на нормаль всюду положительна и характеризует изменение скорости только по направлению. Направление может менять сам вектор нормали – когда траектория проходит точку перегиба.

Рассмотрим различные частные случаи движения точки.



  • Если at º 0, то движение точки вдоль траектории является равномерным (v º const); если при этом движение является криволинейным, то a = an.

  • Если an º 0, то движение точки является прямолинейным и a = at,

  • Условие a º 0 означает, что движение является равномерным и прямолинейным.

Существует удобный и наглядный способ описания изменения вектора скорости как по величине, так и по направлению – это годограф вектора скорости.

Пусть M1, M2, ¼, Mn – несколько последовательных положений движущейся точки M на траектории в моменты времени t1, t2, ¼, tn соответственно. Пусть также v1, v2, ¼, vn – векторы скорости точки в те же моменты времени. Перенесем векторы скоростей, не меняя их длин и направлений, в начало координат O1. Концы векторов будут расположены на некоторой непрерывной линии, которая и называется годографом скорости.

Радиус-вектор = v любой точки на годографе имеет координаты

. (1.3)

Уравнения (1.3) являются параметрическими уравнениями движения точки N по годографу скорости. Если исключить из этих уравнений время t, то получим уравнение годографа скорости в декартовых координатах O1x1y1.

Очевидно, что при равномерном криволинейном движении в плоскости годографом скорости будет окружность с радиусом, равным величине скорости. При прямолинейном переменном движении годографом скорости является отрезок прямой, параллельный траектории точки. В случае равномерного прямолинейного движения годограф скорости вырождается в точку.

Задача


Для точки M механизма (Табл. 1.3), движение которого описывается в соответствии с параметрами заданного варианта (Табл. 1.2), составить уравнения движения в координатной форме и изобразить участок траектории на интервале времени (t0, t1). Найти скорости точки на траектории в заданных положениях, полные, нормальные и касательные ускорения. Определить радиусы кривизны траектории в этих положениях. Построить годограф скорости и записать его уравнение в параметрической форме.

Последовательность выполнения задачи


1. В соответствии со схемой, указанной в варианте для точки M (Табл. 1.3) записать уравнения движения в координатной форме

x = f(t), y = g(t).

2. Записать уравнения движения в форме, общей для всех вариантов, заменяя нулями недостающие коэффициенты:



3. Произвести вычислительную часть задачи на компьютере при помощи стандартной программы.

4. Произвести проверку решения в начальный и конечный моменты предложенного Вам интервала времени. Эту часть работы можно выполнить и до того, как Вы обратитесь к компьютеру. В этом случае удобно сравнить полученные “вручную” результаты с результатами последующего счета на компьютере, которые следует представить в печатном виде.

5. Построить на миллиметровой бумаге, пользуясь результатами счета:



  1. Траекторию точки.

  2. График скорости.

  3. Графики ускорений: полного, касательного, нормального.

Три последних графика выполнить на одном чертеже.

6. Воспользоваться графиком a) и построить на нем годограф скорости, выбирая значения скоростей в точках разбиения траектории из отпечатанных результатов.

7. Если в Вашем варианте a1 = b1 = 0, т. е. в уравнениях движения точки отсутствуют линейные члены, то исключить время из этих уравнений и записать уравнение траектории в неявной форме F(x,y) = 0. При помощи отпечатанных результатов убедиться, что эта кривая соответствует тому, что Вы получили при расчете на компьютере.

8. Получить аналитически уравнения годографа скорости и сравнить полученный результат с соответствующей кривой на графике a).

9. Произвести анализ соответствия трех графиков ускорений в экстремальных точках интервала (t0, t1), если таковые есть в Вашем варианте.

10. Оформить работу в соответствии с принятым стандартом. После расчета (пункт 3) создать текстовый файл результатов, в начале которого указать свои данные: фамилию, инициалы и номер группы. Текст файла включить в итоговый отчет о работе.


Пример выполнения задания


Колесо катится по прямой, совпадающей с осью Ox, своим внутренним ободом радиуса r в соответствии с законом j =pt/2 рад. Точка M находится на внешнем ободе колеса радиуса R = 60 см, r = 0,5 R (Рис. 1.1). Момент начала движения: t0 = 0 с. Момент окончания движения: t0 = 2 с. Кинематические характеристики движения точки вычислять с шагом Dt = 0,1 с.

Решение


1. Выразим координаты точки M в виде функций угла j, и, следовательно, — в виде функций параметра времени t. В начальный момент времени j = 0. Следовательно, точка A совпадает в этот момент с началом координат O. В процессе движения длина дуги AP равна пройденному пути OP. Следовательно

Рис. 1.1

OP = rj = 0,5Rpt/2 = 15pt (см),


или


2. Записываем уравнения движения в форме, требуемой алгоритмом задачи:



3. Производим вычисления на компьютере (пример см. на Рис. 1.2) и получаем результаты в печатном виде для отрезка времени t Î [0, 2].



Рис. 1.2


4. Используя полученные результаты расчета (Табл. 1.1), проверяем решение в начальный t0 = 0с и конечный t1 = 2с моменты времени. Сначала вычисляем координаты точки

Вычисляем скорость точки. Для этого вычисляем производные от координат точки



Подставляем сюда начальный и конечный моменты времени. По­лу­ча­ем







Вычисляем ускорения точки M: полное, касательное и нормальное. Сначала вычислим проекции ускорения на координатные оси



Теперь можно найти полное ускорение



Таким образом, полное ускорение точки M остается постоянным по модулю во все время движения. Касательная составляющая уско­ре­ния точки M



Нормальная составляющая ускорения



Радиус кривизны траектории в крайних точках интервала



5. Строим траекторию точки на плоскости (Рис. 1.3). Строим также график зависимости величины скорости (Рис. 1.4), а также графики зависимости полного ускорения (сплошная линия) и его касательной (точки) и нормальной (пунктир) составляющих (Рис. 1.5) от времени.

6. На чертеже Рис. 1.3 в соответствующем масштабе строим касательные векторы скоростей, откладывая их от точек траектории и от начала координат. В последнем случае соединяем концы векторов скоростей, получая таким образом годограф скорости.

7. Поскольку a1 ¹ 0, запись уравнения траектории в неявной форме в заданном варианте не требуется.



Рис. 1.3


Рис. 1.4


Рис. 1.5


8. Параметрические уравнения годографа скорости

Исключая из этих уравнений параметр t, получим уравнение годо­гра­фа скорости в неявной форме



Это уравнение окружности радиуса 30p см с центром в точке (15p,0), что подтверждается построенным графиком годографа.



9. Анализ графиков ускорений показывает, что в крайних точках интервала моделирования движения касательное ускорение равно нулю. Это означает, функция скорости в этих точках удовлетворяет необходимым условиям экстремума, что подтверждается графиком скорости.

Табл. 1.1


t

x

y

vx

vy

v

ax

ay

a

at

an

r

0,0

0,0000

–30,0000

–47,1239

0,0000

47,1239

0,0000

148,0441

148,0441

0,0000

148,0441

15,0000

0,1

–4,6737

–29,2613

–45,9635

14,7436

48,2703

23,1592

146,2214

148,0441

22,6092

146,3075

15,9255

0,2

–9,1162

–27,0634

–42,5111

29,1242

51,5307

45,7481

140,7983

148,0441

41,8359

142,0099

18,6988

0,3

–13,1023

–23,4604

–36,8515

42,7876

56,4696

67,2106

131,9082

148,0441

56,0873

137,0083

23,2746

0,4

–16,4176

–18,5410

–29,1242

55,3975

62,5867

87,0181

119,7702

148,0441

65,5192

132,7565

29,5059

0,5

–18,8645

–12,4264

–19,5194

66,6432

69,4430

104,6830

104,6830

148,0441

71,0377

129,8872

37,1270

0,6

–20,2667

–5,2671

–8,2736

76,2481

76,6956

119,7702

87,0181

148,0441

73,5901

128,4583

45,7909

0,7

–20,4737

2,7606

4,3363

83,9754

84,0873

131,9082

67,2106

148,0441

73,9235

128,2667

55,1247

0,8

–19,3643

11,4590

17,9997

89,6350

91,4244

140,7983

45,7481

148,0441

72,5732

129,0355

64,7761

0,9

–16,8498

20,6139

32,3803

93,0874

98,5584

146,2214

23,1592

148,0441

69,9131

130,4960

74,4372

1,0

–12,8761

30,0000

47,1239

94,2478

105,3722

148,0441

0,0000

148,0441

66,2073

132,4146

83,8525

1,1

–7,4250

39,3861

61,8675

93,0874

111,7714

146,2214

–23,1592

148,0441

61,6483

134,5977

92,8163

1,2

–0,5147

48,5410

76,2481

89,6350

117,6783

140,7983

–45,7481

148,0441

56,3822

136,8872

101,1650

1,3

7,8007

57,2394

89,9115

83,9754

123,0282

131,9082

–67,2106

148,0441

50,5252

139,1555

108,7700

1,4

17,4324

65,2671

102,5213

76,2481

127,7669

119,7702

–87,0181

148,0441

44,1745

141,2999

115,5301

1,5

28,2594

72,4264

113,7671

66,6432

131,8495

104,6830

–104,6830

148,0441

37,4144

143,2383

121,3662

1,6

40,1311

78,5410

123,3719

55,3975

135,2387

87,0181

–119,7702

148,0441

30,3214

144,9057

126,2167

1,7

52,8712

83,4604

131,0993

42,7876

137,9050

67,2106

–131,9082

148,0441

22,9667

146,2518

130,0347

1,8

66,2820

87,0634

136,7589

29,1242

139,8256

45,7481

–140,7983

148,0441

15,4180

147,2390

132,7855

1,9

80,1493

89,2613

140,2113

14,7436

140,9844

23,1592

–146,2214

148,0441

7,7409

147,8415

134,4452

2,0

94,2478

90,0000

141,3717

0,0000

141,3717

0,0000

–148,0441

148,0441

0,0000

148,0441

135,0000

Табл. 1.2


Размеры звеньев (см)

j(t) (рад)

s(t) (см)

t1 (с)

Dt (с)

l

R

r

1

15

2pt

0,25

0,025

2

50

5pt/2

0,8

0,08

3

30

30

pt

0,5

0,05

4

30

pt

0,5

0,05

5

40

15

pt

0,5

0,05

6

60

0,25

0,025

7

20

pt/2

1

0,1

8

10

2pt

0,25

0,025

9

60

60

pt/4

2

0,2

10

40

0,5

0,05

11

60

24

2pt

0,25

0,025

12

45

0,5

0,05

13

50

5pt

0,4

0,04

14

20

2pt

0,25

0,025

15

60

60

2pt

0,25

0,025

16

40

0,5

0,05

17

42

30

pt

0,5

0,05

18

40

0,25

0,025

19

50

4pt

0,5

0,05

20

60

22

pt

0,5

0,05

21

40

15

2pt

0,25

0,025

22

45

0,5

0,05

23

42

0,25

0,025

24

45

0,5

0,05

25

60

21

pt/2

1

0,1

26

30

0,5

0,05

27

60

12

pt/2

1

0,1

28

40

24

pt

0,5

0,05

29

50

0,25

0,025

30

60

24

pt/2

1

0,1

Табл. 1.3




Достарыңызбен бөлісу:




©www.dereksiz.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет